Правильные решения и ответы на любые задания для школьника или студента быстро онлайн. А если не нашли нужное решение или ответ, то задайте свой вопрос нашим специалистам.

Разложить на множители x^4+x³-4x²+x+1

0 голосов

Разложить на множители x^4+x³-4x²+x+1


Алгебра Одаренный (4.9k баллов)
Дан 1 ответ
0 голосов
 
Правильный ответ

Воспользуемся методом неопределенных коэффициентов. Будем искать коэффициенты разложения, предположив, что все они целые. Поскольку свободный член у исходного многочлена равен единице, свободные члены множителей будут либо оба 1, либо оба (-1). рассмотрим сначала случай, когда они оба = 1, если разложение получить не удастся, рассмотрим второй случай. 

 x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+ax+1)(x^2+bx+1).

Если перемножить многочлены в правой части, должен получиться тот же многочлен, что и слева⇒ в левой и правой части одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях.

Коэффициент при x^3 слева = 1, справа = a+b; получили уравнение

a+b=1

Коэффициент при x^2 слева = -4, справа = 2+ab; получили уравнение 

ab=-6

Следовательно, a и b являются корнями квадратного уравнения

t^2-t-6=0 (спасибо господину Виету); t=3 или t= - 2; пусть a=3; b=-2

Проверив, что при выбранных a и b совпадают коэффициенты и при x, убеждаемся в справедливости разложения
 
 x^4+x^3-4x^2+x+1=(x^2+3x+1)(x^2-2x+1).

Если такого разложения недостаточно, можем разложить до скобок первой степени:

 x^4+x^3-4x^2+x+1=(x+3/2+√5/2)(x+3/2-√5/2)(x-1)^2

Профессор (63.9k баллов)
0

Спасибо огромное! Только для 7 класса это мощно как-то... скорее всего все же ошибка в условии...они квадратные уравнения вообще не проходили... Но все понятно и поучительно! Еще раз спасибо!

...