Правильные решения и ответы на любые задания для школьника или студента быстро онлайн. А если не нашли нужное решение или ответ, то задайте свой вопрос нашим специалистам.

Помогите вычислить определенные интегралы

0 голосов

Помогите вычислить определенные интегралы


image

Алгебра (58 баллов)
Дан 1 ответ
0 голосов
 
Правильный ответ

Решите задачу:

1)\; \; \int\, \frac{1+\sqrt{x}}{x^2+2\sqrt{x^3}}\, dx =[\; x=t^2\; ,\; dx=2t\, dt\; ,\; t=\sqrt{x}\; ]=\\\\= \int\, \frac{1+t}{t^4+2t^3}\cdot 2t\, dt= \int\, \frac{2t(t+1)}{t^3(t+2)} dt=2\cdot \int \frac{t+1}{t^2(t+2)}\, dt=\\\\\frac{t+1}{t^2(t+2)}=\frac{A}{t^2}+\frac{B}{t}+\frac{C}{t+2}

t+1=A(t+2)+Bt(t+2)+Ct^2\\\\t^2\; |\; B+C=0\\\\t\; |\; A+2B=1\\\\t^0\; |\; 2A=1\; ,\quad A=\frac{1}{2}\\\\2B=1-A=\frac{1}{2}\; ,\; \; B=\frac{1}{4}\\\\C=-B=-\frac{1}{4}

=\int \, \Big (\frac{1/2}{t^2} +\frac{1/4}{t}+\frac{-1/4}{t+1} \Big )dt=\frac{1}{2} \cdot \frac{-1}{t} +\frac{1}{4}\cdot ln|t|- \frac{1}{4}\cdot ln|t+1|=\\\\=- \frac{1}{2\sqrt{x}}+ \frac{1}{4}\cdot ln|\sqrt{x}|- \frac{1}{4}\cdot ln|\sqrt{x}+1|+C

\int \limits _0^1\frac{1+\sqrt{x}}{x^2+2\sqrt{x^3}}dx =\lim\limits_{\varepsilon \to +0}\int \limits _{\varepsilon }^1\frac{1+\sqrt{x}}{x^2+2\sqrt{x^3}}=\\\\=\lim\limits _{\varepsilon \to +0}(-\frac{1}{2} +\frac{1}{4}\cdot ln1-\frac{1}{4}\cdot ln2+\underbrace {\frac{1}{2\varepsilon } }_{\infty }- \frac{1}{4}\cdot ln\varepsilon + \frac{1}{4}\cdot ln|1+\varepsilon |=\infty

2)\; \; \int\limits^1_0 (x^2-1)e^{2x} \, dx =[\; u=x^2-1,\; du=2x\, dx\; ,\; dv=e^{2x}dx\; ,\\\\v= \frac{1}{2}\cdot e^{2x}\; ]=\frac{1}{2}\cdot (x^2-1)e^{2x}\Big |_0^1- \int\limits^1_0 \, x\cdot e^{2x}\, dx =\\\\=[u=x\; ,\; du=dx\; ,\; v= \frac{1}{2}\cdot e^{2x} \; ]= \frac{1}{2}\cdot (0-(-1)\cdot e^0)-\\\\- \frac{x}{2}\cdot e^{2x} \Big |_0^1+\int \limits _0^1\frac{1}{2}\cdot e^{2x}dx= \frac{1}{2}-\frac{1}{2e^2} +\frac{1}{4}\cdot e^{2x}\Big |_0^1=\\\\=\frac{1}{2}- \frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4}(e^2-1)
БОГ (818k баллов)
...